☛ Fonction affine à paramètre entier

Énoncé

Soit \(n\) un entier naturel.
On considère la fonction affine \(f_n\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f_n(x)=2nx+n-1\).

1. On suppose que \(n=0\). Que peut-on dire de \(f_0\) ?
2. Donner l'expression de \(f_2(x)\) en fonction de \(x\).
Dans la suite, \(n\) est un entier naturel fixé.
3. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation \(f_n(x)=0\).
4. En déduire le signe de \(f_n(x)\) sur \(\mathbb{R}\).

Solution

1. Si \(n=0\), alors on a \(f_0(x)=2\times 0 \times x+0-1=-1\).
Donc, pour tout réel \(x\), on a \(f_0(x)=-1\). Ainsi \(f_0\) est constante sur \(\mathbb{R}\) et égale à \(-1\).
2. Pour tout réel \(x\), on a
\(f_2(x)=2\times 2 \times x +2-1=4x+1\).
3. On fixe un entier naturel \(n\). On résout l'équation  \(f_n(x)=0\).
\(\begin{array}{ll}f_n(x)=0 & \Leftrightarrow 2nx+n-1=0\\& \Leftrightarrow 2nx=-n+1\\& \Leftrightarrow x=\dfrac{-n+1}{2n} \ \text{ pour } n\neq 0\\\end{array}\)
Ainsi, pour tout \(n\neq 0\),  on a  \(S=\left\lbrace \dfrac{-n+1}{2n} \right\rbrace\).
Si \(n=0\), alors  \(f_0(x)=-1\), pour tout réel \(x\). Donc l'équation  \(f_0(x)=0\) n'admet pas de solution.
4. 

• Si \(n=0\), alors  \(f_0(x)=-1\), pour tout réel \(x\). Donc  \(f_0\) est négative  sur \(\mathbb{R}\).
  
• Si \(n>0\).

Par produit \(2n>0\). Donc \(f_n\) est une fonction affine dont le taux d'accroissement est strictement positif.
Ainsi sur l'intervalle \(\left]-\infty ; \dfrac{-n+1}{2n}\right]\), \(f_n\) est négative.
Sur l'intervalle \(\left[\dfrac{-n+1}{2n}; +\infty\right[\), \(f_n\) est positive.